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平方和不等式权威发布_平方和不等式公式(2024年12月精准访谈)

内容来源：奇优电影院所属栏目：观点更新日期：2024-11-30

平方和不等式

𐟓˜数学基本不等式解题秘籍 𐟓š 探索数学基本不等式的解题世界，这里有你需要的全部技巧！ 𐟔 首先，掌握基本不等式的类型是关键。非齐次式、齐次式、分式等，每一种都有其独特的解题方法。 𐟒ᠥ﹤𚎩ž齐次式，尝试通分和拆项是常用的策略。例如，对于(x+y)^2 >= 2xy，你可以通过通分和拆项来简化计算。 𐟔— 齐次式则可以利用平方和公式来求解。比如，对于a^2 + b^2 >= 2ab，你可以尝试将其转化为平方和的形式来求解。 𐟧ˆ†式不等式则需要特别注意分母的处理。有时候，通过分母的变换，可以将复杂的不等式转化为简单的问题。 𐟒ꠦŽŒ握这些基本不等式的解题技巧，你将能够在数学解题的道路上更加游刃有余！不妨试试看，相信你会有收获的！

高考数学大一轮复习讲义：必考知识点详解 ### 集合的基本运算 𐟓š 并集：A∪B = {x | x∈A 或 x∈B} 交集：A∩B = {x | x∈A 且 x∈B} 补集：C₄A = {x | x∈U 且 x∉A} 全集：U = 一个包含所有研究问题的集合充分必要条件 𐟔„ 推导关系：若 p→q 且 q→p，则 p 是 q 的充分必要条件若 p→q 且 q→p，则 p 是 q 的充分必要条件若 p≠q 且 q≠p，则 p 是 q 的既不充分又不必要条件大小关系：若 A⊆B，则 p 是 q 的充分条件若 B⊆A，则 p 是 q 的必要条件若 A⊄B 且 B⊄A，则 p 是 q 的既不充分又不必要条件命题的否定 𐟚능…觧𐩇词：所有的、任意一个、一切、每一个、任给等，用 V 表示全称命题 p：∀x∈M，P(x)，它的否定 -p：∃x∈M，P(x) 存在量词：存在一个、至少有一个、有些、有一个、对某个、有的等，用 ∃ 表示特称命题 p：∃x∈M，P(x)，它的否定 -p：∀x∈M，P(x) 基本不等式 𐟓 重要不等式：𒠫 𒠢‰堲𒯼Œ当且仅当 = 时取等号基本不等式：≥𒠨a，b > 0)，当且仅当 a = b 时取等号转化：和、积、平方和三者转化不等式链：aⲠ+ bⲠ≥ 2ab 三元不等式：aⳠ+ bⳠ+ cⳠ≥ 3abc，a + b + c ≥ 3√abc 糖水不等式：若 a > b > 0，m > 0，n > 0，则 1 < a/b < (a + m)/(b + n) 柯西二元式：设 a，b，c，d ∈ R，则 (a + b)(c + d) ≥ (ac + bd)，当且仅当 a = c，b = d 时等号成立权方和不等式：设 a，b，x，y ∈ R，则 x + y ≥ 2√(ax + by)，当且仅当 x = y 时等号成立这些知识点是高考数学大一轮复习的重点，希望这份讲义能帮助你更好地理解和掌握。

𐟓š每日一练：数学与逻辑挑战解析𐟧ŸŒ𑦕𐥭榌‘战：复合函数 𐟓ˆ 设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若A⊇B，则y关于x的函数y=f(g(x))称为f与g的复合函数，u为中间量。柯西不等式 𐟓 对于任意实数，柯西不等式恒成立。记忆方法：乘积和的平方≤平方和的乘积，即(ac+bd)Ⲣ‰䨡ⲫbⲩ(cⲫdⲩ或(ad+be+cf)Ⲣ‰䨡ⲫbⲫcⲩ(dⲫeⲫfⲩ，当共线时取等号。虚拟函数 𐟌Œ 虚拟函数没有固定形式，需根据题干信息寻找函数关系。常见方法有：构造函数、构造方程组、递推函数等。恒成立 𐟔 重要结论见评价置顶。 𐟧 逻辑挑战：假言推理 𐟤” 假言推理模型题干特点：出现充分条件、必要条件、充要条件的典型关联词，如“如果…那么…”，“只有…才…”，“除非…否则…”等。选项特点：选项一般由假言或选言判断组成。三步解题法 𐟓 第1步：画箭头。将题干符号化，用“→”表示。第2步：逆否。写出题干的逆否命题。如有必要，可把箭头变或，即A→B=非AVB。第3步：找答案。根据箭头指向原则判断选项的真假。

华师一附中高一数学期末考试要点解析 𐟓š 华师一附中高一上数学期末考试试卷，难度适中，以下是对试卷要点的详细解读：集合间的运算：题目考察了集合的基本运算，属于常规题型。充分条件与必要条件：结合不等式进行考察，是常见的出题模式。正切三角函数对称中心：考察了正切函数的周期性和对称中心。对数函数估算：题目要求估算对数函数的值，考察了计算能力。函数奇偶性：通过特殊取值可以解决函数奇偶性的问题。实际问题二次函数最值：结合导数知识，解决二次函数在区间内的最值问题。对数值大小比较：利用换底公式比较对数值的大小。函数图像与交点：画出函数图像，发现周期性，结合两图像交点特征，可求范围。正负数的奇偶次幂：简单的正负数奇偶次幂的计算。不等式对比：题目要求对比不等式的大小。正弦余弦平方和：结合正弦余弦的平方和函数值，可得解。函数变形与特殊值：通过函数变形和代入特殊值，可以求得答案。以上是选择题的考点所在，希望这些分析能帮助你更好地备考。𐟓–✨

高中数学二级结论汇总，必备学习资料！ 𐟓š 高中数学二级结论汇总，涵盖各种重要公式和定理，是学习和复习的宝贵资源。以下是部分内容摘要： 𐟔 函数奇偶性与对称性奇函数：若函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，则为奇函数。偶函数：若函数f(x)满足f(-x)=f(x)，则为偶函数。对称性：关于x=a对称：若y=f(x+a)为偶函数，则f(x)关于x=a对称。关于点(a,0)对称：若y=f(x+a)为奇函数，则f(x)关于点(a,0)对称。关于直线x=a对称：若f(x)=f(2a-x)，则函数关于直线x=a对称。关于点(a,b)对称：若f(x+f(2a-x)=2b，则函数关于点(𜌢)对称。 𐟓ˆ 函数周期性周期函数：若存在正数T，使得对于所有x都有f(x+T)=f(x)，则f(x)是周期为T的周期函数。推论：若f(x+m)=cf(x)+d，则f(x)是周期为3m的周期函数。若f(x+m)=1-f(x)，则f(x)是周期为3m的周期函数。若f(x+m)=1+f(x)，则f(x)是周期为2m的周期函数。 𐟓Š 函数最值与双变量函数不等式问题最值问题：利用平方和为常数，求函数的值域。双变量函数不等式问题：利用包裹性定理，求函数的最大值和最小值。 𐟓š 指对运算与换底公式对数运算：log.()=lg.M+log.N；log.b=log.a。换底公式：logb=log.a。 𐟓ˆ 三角换式与对称中心平移三角换式：利用平方和为常数，求函数的值域。对称中心平移：将奇函数g(x)向上平移m个单位，得到f(x)=g(x)+m。 𐟓Š 最值与双变量函数不等式问题（包裹性定理）定理一：若y=f(x)满足Vx,ED、|(x)-f(x)

高等数学笔记：函数、极限、无穷小、连续 𐟓š 常用基础知识数集：常用的数集包括自然数集、整数集、有理数集和实数集。平方差公式、立方差公式、立方和公式：这些公式在计算和证明中非常有用。完全平方公式、完全立方公式：这些公式可以帮助我们更简单地处理平方和立方的问题。十字相乘法、求根公式法：这些方法在解一元二次方程时非常实用。一元二次不等式、绝对值不等式：这些不等式在解决各种数学问题中都有应用。 𐟔 函数定义域、值域、对应法则：这是理解函数的基础。六大类基本初等函数：包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和复数函数。二倍角公式、降幂公式：这些公式可以简化三角函数的计算。常见的三角函数值：如正弦、余弦、正切等。有界性、单调性、奇偶性、周期性：这些性质可以帮助我们更好地理解函数的性质。求反函数、复合函数：这些操作在函数变换中非常常见。 𐟓ˆ 数列极限等差数列、等比数列：这些数列是数列极限的基础。数列极限的四则运算：包括加法、减法、乘法和除法。无穷比无穷型极限的计算：这种极限的计算方法非常重要。无限项数列极限的计算：包括收敛和发散的情况。夹逼准则：这个准则在证明数列极限时非常有用。 𐟓‰ 函数极限函数极限的四则运算法则：包括加法、减法、乘法和除法。需要计算左右极限的情况：这在实际计算中非常常见。零比零型极限的计算：这种极限的计算方法非常重要。无穷减无穷型极限的计算：这种极限的计算方法也比较常见。两个重要极限：包括洛必达法则和夹逼准则。 1的无穷次方型极限的计算：这种极限的计算方法也比较重要。 𐟌€ 无穷小无穷小性质：无穷小的性质可以帮助我们更好地理解极限的概念。两个无穷小阶的比较：包括高阶无穷小和低阶无穷小的比较。常见的等价无穷小代换：这些代换在计算中非常实用。极限的反问题：通过反问题可以更好地理解极限的概念。 𐟖𜯸 连续左连续与右连续：这是理解连续性的基础。函数在一点处连续的充要条件：包括左连续和右连续的条件。连续函数的四则运算：包括加法、减法、乘法和除法。复合函数的连续性：复合函数的连续性是函数连续性的重要部分。函数间断点的分类：包括可去间断点和跳跃间断点等。闭区间上连续函数的性质：这些性质可以帮助我们更好地理解闭区间上连续函数的性质。初等函数的连续性：初等函数的连续性是函数连续性的基础。

2026年高中数学二级结论大集合𐟓š 嘿，准高二和高三的同学们，暑假快结束了，是时候开始准备数学了！𐟓–𐟒ꊦ补ž‹一：同次积式配凑类型已知x+y的值，求x+y的取值范围，或者已知x+y的值，求2rⲫ3y的最值或者求x+y的最值。例如：(rⲫy)(mⲫn)≥(mx+m)，其中m,n∈R。这个公式告诉我们，当已知x+y的值时，可以通过这种方式来求最值。模型二：基本不等式和柯西不等式基本不等式和柯西不等式在这里都派上了用场。什么时候用哪个不等式呢？如果是已知和式定值求积式最值，或者积式定值求和式最值，这就是形式转变，一般用基本不等式；而已知和式定值，求和式（倒数和、平方和、根式和）的最值，或者已知积式（需要因式分解确定）定值，求另一个齐次积式定值，我们通常用柯西不等式。总结起来一句话：形式的改变用基本不等式，形式的不变用柯西不等式。模型三：同次积式配凑类型已知y的值，求(x+m)y+n(m,n∈R)的最值，利用(x+m)(x+n)≥(x+m)来求最值。例如：设a>0,b>0,a+b+1=ab,求3a+2b最小值。通过这样的方式，我们可以轻松找到最值。思考题已知a,b∈R，aⲫ2bⲽ6，则a+b的最小值是多少？解：利用基本不等式(aⲫ2bⲩ≥(a+b)ⲯ𜌦ˆ‘们可以得到(a+b)Ⲣ‰䶯𜌥𝓤𘔤𛅥𝓡=2b=-2时等号成立，故最小值为-3。这些模型和结论不仅适用于高二和高三的同学们，对于新高一的同学们来说也是非常有帮助的。希望大家都能在暑假结束前好好复习，开学后不掉队！𐟒갟ŒŸ

线段比例最值题第五十回，涉及边长578的三角形，两定点为三角形中的两个顶点，动点为平面内保证到三角形中两个顶点距离平方和为定值的点，如何解？分享三种解法。解本题，最好能熟知：三角形如三边长分别为5、7、8，则长度为5、8的边的夹角为60度，反之，如夹角为60度角的两边长为5、8，则对边长为7。而且，5、7边夹角的余弦值为1/7。熟知这些，解本题可节省时间，但不熟知也没有关系，通过简单运用勾股定理就可获得以上结论。解本题的关键点也是难点所在是确定动点D的轨迹，因D到C、B的距离平方和为定值，那可以排除轨迹为直线，基本可确定是圆。如果能确定D的轨迹为圆，那本题就是一道圆上一动点到两定点距离之比的最值问题，可以有较多的方法来求最值。本回分享三种确定点D运动轨迹的方法。法一利用数形结合，主要是运用勾股定理，过程稍显复杂，但用到的都是初中阶段课本内知识；法二通过建系得到D点的函数表达式为圆的方程，在初中阶段貌似超纲了；如果看官您知道中线定理并掌握在判断共圆时不常用的方法——利用中线定理判断圆的方法，那么确定D的轨迹将简单得多，如法三。所谓中线定理是指三角形一条中线两侧所对边的平方和等于底边一半与该边中线平方和的2倍。落实在本题，即是三角形BCD中，O是BC中点，OD是中线，那么就有：CD^2+BD^2=2（CO^2+OD^2），而等式前半及CO均为定值，故可求得OD的长，即可确定D的轨迹为以O为圆心OD长为半径的圆。在确定D的轨迹为圆后，法一通过手拉手模型+阿氏圆进行转换并确定转换后的动点轨迹；法二采用割线定理+相似进行转换并直接利用既有的圆O求最值；法三利用托勒密不等式。三种方法均为圆上动点到两定点距离之比最值问题的常用解法。最后附上一道线段比例最值题，难度不小，欲知解法如何，且听下回分解。注：本回的题目及“法三”均引用自@善数堂的2024-1-30的百度动态，在此表示感谢！ #教育创作激励计划# #轻知计划#

【揭秘数学奥秘】高一数学掌握这个秘诀，数学题目轻松解决！作者：六维坐标系你知道吗？数学中有一个神奇的不等式，能帮你轻松解决很多看似复杂的问题。今天，就让我们一起揭开这个数学秘诀的神秘面纱！相信大家在学习数学的过程中，都遇到过各种各样的不等式。其中，有一个非常基础但极具威力的不等式——基本不等式。它适用于所有正数a和b，公式如下：若a>0，b>0，则a+b≥2√ab（当且仅当a=b时，等号成立）。简单来说，这个不等式告诉我们，两个正数的和总是大于等于它们几何平均数的两倍。比如，2和3，它们的几何平均数是√6，而它们的和是5，显然5大于2√6。 ① 算术平均数和几何平均数在这里，(a+b)/2就是a和b的算术平均数，√ab则是它们的几何平均数。 ② 基本不等式的巧妙证明这个不等式还有一个几何证明，当两个点D和O重合，也就是a和b相等时，等号成立。 ③ 运用不等式的三大法宝在使用这个不等式求解最值时，要记住三个关键点：一正（a>0，b>0），二定（ab是个定值），三等（不等式中取到等号）。此外，基本不等式还有一些变形，比如2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√((a^2+b^2)/2)（当且仅当a=b时等号成立）。这些变形把常见的二元关系（倒数和，乘积，和，平方和）联系起来，是求解最值问题的关键。接下来，我们来了解一下对勾函数。它是一种形如y=x+a/x（a>0）的函数。它的图像关于原点对称，在第一象限中，当0<x<√a时，函数递减，当x>√a时，函数递增。有趣的是，对勾函数和基本不等式之间存在着紧密的关系。当x=√a时，对勾函数取得最小值y_min=2√a，这与基本不等式x+a/x≥2√(x∙a/x)=2√a（x=√a时取到最小值）是一致的。数学的魅力在于它的简洁和统一。掌握了基本不等式，你就能解决很多数学问题。对于需要系统学习的学生、家长和数学爱好者，我强烈推荐高一数学上学期同步提高视频课程，它能帮助你更深入地理解和运用这些数学工具。详情请点击以下链接，让我们一起在数学的世界中遨游吧！#金秋动态创作赛#

高中数学考点、重点、难点高考既然作为选拔性考试，肯定要求试题要具有筛选的功能（三六九等），就是考大家学过的，但是解题思路就是想不到的。很多同学对于老师讲过的题型，基本能做出来，没讲过的就不知所措了。解决这类问题要对知识点纵观全局，建立联系。高考数学卷可以通过不同章节模块的具体形式，来考察不等式问题，特别是不等式作为“动态”问题时（如涉及多参、多变量问题，求最值、范围），难度是较大的。不等式的求解过程一般就是寻求“最优边界”。在上几篇动态文章中也整体描述了求解不等式主要数学思想和数学技巧，这些是大家形成解题思路和数学思维习惯是必须的。且在上一篇中提到高考数学涉及基本不等式的考察通常在5~6分，而且这部分的题目灵活多变，难度较大，那为什么还是建议大家花费一定的时间去研究这一部分？因为基本不等式首先是不等式的一个子集，只要是不等式就涉及很多的解题思想和技巧。特别是这些解题思想和技巧又是后面综合题（如函数和三角函数、圆锥曲线与立体结合和向量等）形成解题思路、解决卡点问题所必须的。是运用【转化与化归】思想很好的训练模型。基本不等式专题，内容丰富，大家需要将解题的方法做一个归纳总结。尽可能的达到见形知意之目的（给出具体的题目形式，大致判断出命题人要考的是什么，考察的是“1”的代换？考察的是换元？考察的是配凑？考察的是对勾函数？考察的是指对基本不等式？考察的是放缩（a2+b2≥2ab，就是一个最为基本的放缩）？考察的是均值不等式？）。什么是均值不等式【调和平均数、几何平均数（可以构造什么？三角形勾股定理）、算数平均数、平方平均数之间存在怎样的关系】？均值不等式的证明方法有哪些？【数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等】，这些方法是怎么证明的。高考数学想考130以上的同学不可不查。看下面一个题目：文末图【分析】我在上课的时候，很多同学提出，数列没有给出通项或递推式，题目是不是出错了。我通常会反问，关于数列的题目，就必须给出通项或解析吗？我们说数列就是一类特殊函数，函数部分不是有抽象函数嘛，抽象函数也没见得都给出解析式，再仔细观察这个题目。虽然题目具体的形式给出的是数列，但是要求解的问题还是显而易见，大家想一下题目要表达的是不是就是给定三个正数，这三个正数的平方和大于两两乘积的和（一定要会理解翻译题目，这是新定义题必须掌握的能力）。找课本上与之相似的最为基本的形式a2+b2≥2ab（一定要联想课本公式“神”与之最为相近的，这是碰到难题必备的技能，如今年教育部命制的九省联考最后压轴题，考的就是指对求和公式）。看到这里大家会了吗？文末图【分析】这个题目是在某个资料上看到的，虽然不严谨，但是在实数域范围内还是能做的（空间域内，感兴趣的可以自行研究一下）。本题虽然是涉及到函数和绝对值问题。本质上与∣a∣<1，∣b∣<1，求证∣a+b∣<1+∣ab∣又有什么区别呢？看题目一定要深入内核，抓出最为本质上的东西。在文章中一再强调大家要“看山不是山，看山还是山”，就是这个目的。理解它、吃掉它，数学想学不好都很困难！文末图【分析】这是一道非常简单的题目，直接利用三角函数的性质和不等式变换，结合三角形内角和为š„性质，可以证明。这不是要说明的重点。如果这道题结合了圆锥曲线或立体几何或向量，并揉进了正余弦定理、焦点三角形、三角形面积、四心问题，那么这道题就会变成难题。将自己想象成命题人，看看怎样将这些知识点拼凑到一起，强化训练一下自己知识体系。更多母题与方法，可以进黄少主页专栏找到《高考数学压轴题突破系列》。个人观点，仅供参考 #教育创作激励计划#

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