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第一积分中值定理新上映_第一积分中值定理的推广(2024年11月抢先看)

内容来源：奇优电影院所属栏目：导读更新日期：2024-11-28

第一积分中值定理

华南师范大学数学分析必考知识点清单 𐟓š 数学分析是华南师范大学数学科学专业的重要课程，以下是整理的必考知识点，帮助大家更好地备考！ 𐟔 数列极限通项变形算极限数列极限的性质 Stolz公式迫敛性准则定积分定义归结原则子列与聚点 𐟓ˆ 函数极限无穷小量函数的左右极限幂指函数求极限洛必达法则拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式（4阶）变限积分求极限 𐟒蠥‡𝦕𐧚„连续性连续的定义函数的渐近线间断点的分类一致连续 𐟓ˆ 函数的微分复合求导隐函数求导高阶导数函数的极值点与单调性 𐟒砥‡𝦕𐧚„积分分部积分凑微分法代入换元法微积分基本定理平面图形的面积旋转体的体积 𐟓Š 级数比式判别法根式判别法莱布尼茨判别法绝对收敛幂级数求和函数的幂级数展开 𐟌 多元函数的微积分二元函数的极限复合偏导高阶偏导条件极值二重积分的换序第二型曲线积分的计算格林公式第一型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算高斯公式 𐟓 空间解析几何空间平面方程空间直线方程平面及直线间关系 𐟓– 高等代数多项式：实系数多项式在不同数域上的因式分解实系数多项式根的性质韦达定理有理根的计算行列式：行列式和矩阵性质计算，克拉默法则方程组：基础解系、含参线性方程组求参含参线性方程组解的判别含参线性方程组求解矩阵：方阵行列式、矩阵的秩、伴随矩阵、逆矩阵、矩阵方程求未知矩阵二次型：二次型矩阵、正定二次型（正定矩阵）的判别含参实二次型求参线性空间：基与维数计算、过渡矩阵方法、基变换、生成子空间线性变换：线性变换的矩阵、线性变换（矩阵）可对角化、特征值与特征向量、利用特征值求方阵的行列式、求值域与核欧氏空间：向量的内积、向量的正交、向量的夹角、施密特正交化、标准正交基、实对称矩阵正交相似对角矩阵 𐟓 这些知识点是华南师范大学数学分析考试的重点，希望对大家有所帮助！

25考研每日一题｜第362题你能把积分中值定理用到什么程度？「考研数学武忠祥超话」「2025考研」「一起做个题」「武忠祥老师每日一题」

𐟓š 专升本高数全攻略 𐟓– 𐟔 函数与极限：探索映射与函数的关系，深入理解数列与函数的极限，掌握无穷小与无穷大的奥秘，还有极限运算法则等你来学！ 𐟒ᠥＦ•𐤸Ž微分：导数概念、求导法则、高阶导数，还有隐函数和参数方程的导数，让你的数学思维更上一层楼！ 𐟓ˆ 微分中值定理与导数的应用：微分中值定理、洛必达法则、泰勒公式，还有函数的单调性与曲线的凹凸性，助你成为数学达人！ 𐟌𑠤𘍥篥ˆ†与定积分：从不定积分的概念到定积分的换元法和分部积分法，再到反常积分，让你轻松掌握积分的精髓！ 𐟌 定积分的应用：定积分的元素法，以及在几何学和物理学上的应用，让你的数学应用能力更上一层楼！ 𐟚€ 微分方程：从可分离变量的微分方程到高阶线性微分方程，还有常系数齐次线性微分方程，让你领略微分方程的魅力！ 𐟏𙠥‘量代数与空间解析几何：向量及其线性运算、数量积、向量积，还有平面、空间直线、曲面和空间曲线的方程，让你的空间想象能力更上一层楼！ 𐟌 多元函数微分法及其应用：探索多元函数的微分法及其在经济学中的应用，让你的数学应用能力更上一层楼！ 𐟌Ÿ 重积分与曲线积分：二重积分的概念与性质、计算法，还有对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分，让你轻松掌握重积分的精髓！ 𐟒堦— 穷级数：从常数项级数的概念到函数的幂级数展开式，再到傅里叶级数，让你领略无穷级数的神奇之处！ 𐟓š 参考书目推荐：《高等数学》（第七版）上下册、《微积分》（第四版），助你顺利备考专升本高数考试！

强化 — 362题 | 积分中值定理，你真的会用吗？武忠祥老师每日一题「考研数学武忠祥超话」「2025考研」「一起做个题」「武忠祥老师每日一题」武忠祥老师的微博视频

积分第一/第二中值定理的证明与理解 ### 积分第一中值定理 𐟓– 积分第一中值定理是这样的：如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上都可积，并且f(x)在[a,b]上不变号，那么存在某个c∈[a,b]，使得∫f(x)g(x)dx=f(c)∫g(x)dx。这里的M和m分别表示f(x)在[a,b]上的上确界和下确界。特别地，如果f(x)在[a,b]上连续，那么根据闭区间上连续函数的中间值定理，存在某个c∈[a,b]，使得f(c)=∫f(x)dx。因此，积分第一中值定理的结论就变成了∫f(x)g(x)dx=f(c)∫g(x)dx。这个定理的几何意义也很直观：当f(x)≥0时，上式的左边表示由曲线y=f(x)和直线y=x围成的曲边梯形的面积，它等于以[a,b]为底，某条以f(x)为高的短形面积。积分第二中值定理 𐟓 积分第二中值定理则是这样的：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上可积，而g(x)在[a,b]上单调，那么存在某个c∈[a,b]，使得∫f(x)g(x)dx=f(c)∫g(x)dx。这个定理的证明过程稍微复杂一些，但基本思路是利用分部积分法和单调函数的性质。具体来说，记F(x)=∫f(t)dt，那么F(x)在[a,b]上连续，并且是f(x)在[a,b]上的一个原函数。利用分部积分法，我们可以得到∫f(x)g(x)dx=F(x)g(x)|a^b-∫F(x)g'(x)dx。由于g(x)在[a,b]上单调，因此g'(x)保持定号，从而存在某个c∈[a,b]，使得F(c)g'(c)=0。这样，我们就得到了∫f(x)g(x)dx=F(c)g'(c)=f(c)∫g(x)dx。特殊情况 𐟌𑊊当f(x)=1时，积分第一中值定理的结论就变成了∫g(x)dx=g(c)∫1dx，即∫g(x)dx=g(c)(b-a)。这个结论的几何意义也很直观：它表示以[a,b]为底，某条以g(x)为高的短形面积等于g(c)(b-a)。类似地，当f(x)=1时，积分第二中值定理的结论也变得很简单：∫1㗧(x)dx=1㗢ˆ맨x)dx=g(c)(b-a)。总结 𐟓 无论是积分第一中值定理还是第二中值定理，它们都是积分理论中的重要结论。通过这些定理，我们可以更方便地计算一些复杂的积分表达式，并且能够更好地理解积分与函数之间的关系。希望这篇文章能帮助你更好地理解这些定理！

滚啊啊啊啊啊啊你他妈长得和广义积分中值定理一模一样凭什么不能用滚！！！！！滚啊啊啊啊啊啊啊啊我他妈恨死你了私人数学滚出我的世界滚！！！！！

李林6套卷复盘：数学高手的16个秘诀 1. 𐟓ˆ 渐近线方向：如果渐近线在同一方向上，水平渐近线就不会有斜渐近线。 𐟓‘ 分段讨论：用x代换y中的t，进行分段讨论。 𐟔 积分不等式：被积函数相减做差，构造辅助函数。 𐟏”️ 多元函数极值：注意充分必要条件的界定，题目中要求必要条件，而AC-Bⲯ𜞰是充分条件，但必要条件也包含充分条件，所以需要考虑等于0的情况，找个具体函数算一下。 𐟔⠧‰𙦮Š值法：取函数px为1或者构造辅助函数，第一个条件就是让我用辅助函数。 𐟌 二重积分中值定理：注意一个圆从0到2š„d篥ˆ†，后面为积分0～t，t是一条射线，极限中含有变现积分思路就是积分中值或者洛必达。 𐟧頥𞮥ˆ†方程：如果微分方程比较难解，不要蛮干。如果只需要解的形式，只需要把图像画出来分析一下，带值或者求导的时候先用小脑筋思考一下，哪些求完是为0的就不用算。 𐟔„ 方程组同解：你是我的姐我是你的解，三秩相同。向量组等价：行向量组等价，列向量组等价。 𐟧𘠧Ÿ驘𕧛𘤼𜯼ša相似于b，a秩相似b秩。 𐟓 正定：所有x≠0时，二次型＞0恒成立。建立的齐次方程组如果有解那么就不成立，所以方程组不成立，只有零解，所以满秩，所以行列式为0。 𐟓ˆ 高阶导积分方程：可以通过条件解出fx具体的式子再泰勒展开，注意n阶导数方程/n阶乘为n阶系数。 𐟓Š 通分之后分子为泰勒的变形，分母用一次拉格朗日，或者洛必达之后凑导数定义。 𐟌€ 绕极轴：用公式或者古尔丁定理小，想水管，半径可用y代替然后换成rsinˆ–者微元法（宽为dx，长为y的微元绕一圈变成一个饼，但是注意！这里的y不可以换成rsin𜌥› 为这个y是一直在边线上的，不用走到里面去，所以用条件r=1+cos𜉣€‚ 𐟧䚥…ƒ微分：在固定点可以先代后求，泰勒在信息多的地方展开，求道先思考哦。 𐟌Š 物理应用水深压力：F=PS（p=h）。 𐟔砦–𙧨‹组有解：a的秩等于增广矩阵的秩。

23考研数学各章节老师推荐指南 𐟌Ÿ23考研数学各章节老师推荐指南𐟌Ÿ 𐟔妞限与函数 𐟒ꥼ 宇：不等式的放缩和夹逼原理处理得非常好。 𐟒ꦭ楿祥：n项和n项积单调有界性的操作，等价无穷小方面有独到之处，计算更加简洁快速。 𐟔奾†中值定理 𐟒ꥼ 宇：各种题目类型方法总结最全。 𐟒ꦱ䥮𖥇䯼š强化九种题型讲得很细，每一种情况用哪种定理都列得非常明白，对于中值定理这种压轴题算是很保下限。 𐟔夸定积分和定积分 𐟒ꥼ 宇：积分计算各种技巧总结在目前看来是最详细的。 𐟒ꦭ楿祥：定积分几何应用。 𐟒ꦝ訶…：比较适合基础薄弱但继续提高的同学观看。 𐟔奾†方程 𐟒ꤸ‰位主流老师授课技巧内容差别不大，听谁都行。 𐟒ꦭ楿祥：综合题题型归纳很全。 𐟔奷†方程和数学三专题（微分的经济类学科应用） 𐟒ꥰ破站上有很多老师有个性化的独到见解，比主流老师讲的更全面。 𐟔奤š元函数微分学 𐟒ꦭ楿祥：他的概念最清晰。 𐟔夺Œ重积分 𐟒ꦭ楿祥：17堂课拓展技巧，值得学习。 𐟔夸‰重积分和线面积分（高数I） 𐟒ꦱ䥮𖥇䯼š这部分讲的比较混乱。 𐟒ꦭ楿祥：17讲有很多解题技巧，但是在概念方面讲解侧重较弱，需要个人自主加强。 𐟒ꥼ 宇：讲的超级全，但是有难度。 𐟔姩𚩗𔨧㦞几何（高数I） 𐟒ꦱ䥮𖥇䯼š由浅入深，适合基础不好的同学。 𐟒ꥼ 宇：讲解全面。 𐟔姺禕𐊰Ÿ’ꦖ𙦵鯼š字母型级数，阶乘型转化为三角等十分有效的方法。 𐟒ꥼ 宇：用张宇老师的课强化进行一轮基础知识，体系感强，总结全面。 ‼️重点：不要随随便便换老师，容易思维体系混乱，推荐各个章节的老师主要是希望大家在自己的薄弱章节针对性的听老师的课程𐟑

25超越8 数二噩梦般的体验最后做超越八，最后做超越八，最后做超越八！！！！！远离超越八，放到最后一套做吧，这套这难度和计算量真不是人做的，做完感觉是打击信心的卷子，不知道的还以为这是李艳芳三套卷呢，这计算量纯纯逆天，根本答不完，这套用了三个半小时，选填还好，用了一个半小时，这大题用了两个小时，最后写不下去了。多答这半小时基本都花在线代上面了，结果还错了，哈哈第1题就给我难住了，思考了一会应该是把cos从分子提出来然后括号内用f-1等价于lnf化成ln，这么做还是挺简单的第2题求四阶导，一直求第4题把第一个反常积分分部积分，然后用比较审敛法就可以了。第5题最开始没看明白，最后我把x+2y和y/x给换元成uv硬算的，第6题二重积分的积分中值定理或者可以把Fa求出来，这俩结果都是0 第7题画图，或者fx=ex次幂第8题这道题需要用到很多秩的结论，我觉得需要记的就是P列满秩，则PA与A秩相同第9题跟前面几套的一道很像，先把p行列式乘进去，最后再除以p行列式第10题这题真是太有花样了，其实1和4这俩是等价的，把1中余子式都化成代数余子式，发现这些代数余子式在矩阵A里对应的位置是-1 1 -1 1，正好加起来是0，依然满足题目条件的A有0特征值，4条件跟1一样，移项一下就变成1条件了。 11题没啥说的 12题把(x+1)ex次幂看成一个整体直接分部积分。 13题纯计算，恶心人 15题不会，算的根本算不对，看了答案是用了全微分形式不变，这块我没看 16就是把条件都翻译明白就可以了。 17题恶心题来了，反函数求极限这种题下次直接扣我分就好了，何必浪费我20分钟呢 18题这题是给人算的啊，最后那个积分有点难想，上下同除ex次幂，计算量也不小。 19题计算量也大没啥好说的，一算一个不吱声 20题好眼熟，感觉这个凑微分我做过，不记得是哪套卷子上的了。 21题不难，我最开始还构造错了辅助函数，写了半篇都白写了，这题比前面简单多了。 22题把卷子给他撕喽，不做了，不会。强烈建议大家最后做这套，太恶心了！！！不想学数学了，晚上学物理[生气R][生气R]

考研数学之旅：660到880 在六月中旬到七月初，我完成了660的二刷，七月初到现在，我刚刚结束了数学强化。这段时间里，我一边看网课一边刷880，但880的综合题量实在太大，目前只做到了第三章。下面是我这两月的总结：第一章：极限计算与单调有界性 𐟓š 在第一章里，武忠祥老师的极限计算讲得很细致。去年我只是单纯刷题，没有深入总结。现在根据老师讲的例题和方法进行了简单的总结。个人觉得这章的难点是书p34页的证明数列的单调有界性，这个在880里就能看出来。这章的总结如p2、3。第二章：连续与可导的关系 𐟌𑊊第二章主要讲了连续与可导和可微之间的转换关系，求导法则包括复合求导、参数方程求导、分段函数求导和高阶导数。特别是分段函数在分段点时的求导方法比较复杂。高阶导数求导可以通过代公式、归纳法和泰勒展开。这里需要记住一些常见函数的泰勒展开公式，同时一些选择题的考点也需要认真掌握，如求函数拐点、极值、凹向和渐近线。本章最难的是微分中值定理有关的证明题，包含一道大题。武忠祥和杨超老师的讲课风格有所不同，武忠祥老师是根据题型来讲解，而杨超老师是根据定理来讲解。特别是武忠祥老师讲书p89页，23考研里就有一个这种类型的题，让我收获颇多。前两个罗尔定理和拉格朗日定理、柯西定理更多的是构造函数，找f‘（x）=0的点，而第三类更多的是根据f‘（x）=0点来进行泰勒展开，然后再带入已知的点。而在880上我学到，有时也没有f‘（x）=0的点需要自己假设，如880p17扩展题。第三章：定积分的应用 𐟓 第三章是我写题花费时间最多的。本章有很多定理需要深刻理解才能写对题，如原函数的存在性，定积分的存在性。而变上限积分函数应用里有关F（x）可导性的知识点：f（x）连续则F（x）可导这都能记住，但f（x）在某点是可去间断点时，Fx是可导的且F在该点求导等于f（x）取极限时x趋于该点，我感觉这一块武忠祥讲得很好，通过画图来证明。之后连乘n次项取对数再定积分定义、积分上下限都变—积分中值定理，上下限都不会变—夹逼/积分中值定理。这一章最难的估计就是积分不等式。后面定积分的应用每一年都会考，只要记住武忠祥老师讲的方法，背一些函数图像的表达式，再记一些公式：弧长公式、旋转体侧面积公式。我也进行简单的总结p4、5、6。总结 𐟓 这两月的学习虽然辛苦，但收获颇丰。希望我的总结能对大家有所帮助，祝大家考研顺利！