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阿波罗尼斯圆定理新上映_阿波罗尼斯圆定理证明(2024年12月抢先看)

内容来源：奇优电影院所属栏目：导读更新日期：2024-12-04

阿波罗尼斯圆定理

数学的重要性：你真的知道吗？数学到底有多重要？理科生考中等就落后，文科生考好能拉几十分。数学，真的是一门神奇的学科。在很多学校，上课根本不用数学课本。一方面觉得课本太长太臭，另一方面有现成的教辅资料可以用，于是课本就被“打入冷宫”。但聪明人应该知道，高考母题的来源有两个地方：以往的中高考题和课本。有些学校直接不提课本，有些学校让学生自己去看。没人教你怎么用课本，我来教你。预习阶段预习的同学，一定不能放过课本。预习时间最多，目的是熟悉知识点。课本就是最好的熟悉工具。所以，预习时要完成以下三件事：轻重点判别、概念熟悉和公式推导。轻重点判别藏在每个章节的引入里，由浅到深，由应试到思维，是接续讲的。但这里有个问题，就是考教分离。课本预习当然要做，但补充知识也得知道。我也为大家整理了一份含有补充知识的文档！正式学习阶段正式学习的目的是应试和深挖知识点。要做的事情比预习更深。具体来说，要做的是：公式推导、明晰考点和思考深挖。公式推导一定要熟悉一遍，最好自己推一遍。比如等比数列的求和通项公式，就是通过错位相减证明的。错位相减直接考，肯定会；考公式证明，很多人就不会了。这其实和新概念题异曲同工。说实话，深入学习如果有人指点更好，至少给一个视频看，也比看数学符号更深入。复习阶段复习时最重要的就是以练题思维去回归课本。不熟悉的概念公式在这个时候肯定要掌握，但进阶的就是：寻找课本的课后题里隐藏的过去高考题和未来高考题。高考“超纲题”很多来自课后练习题。虽然这些题有点暧昧，但有心人会发现，泰勒展开公式、奔驰定理、柯西不等式、阿波罗尼斯圆、去年马尔科夫链，都在课本课后练习里。其实也没有具体顺序，只是以上所有课本内容，是吃透课本的关键。而课本是数学的基石，在基石之上的建筑，我们也要找到适合的材料。我也为大家整理了一份初中数学补充知识文档，全面的总结了从几何模型到辅助线到二级结论的所有补充知识点！

华南师范附中高三9月数学试卷确实很惊艳！单选题还是挺简洁的，第8题的原型是三门问题，对于P1的求解需要借助条件概率，而P2就需要理解概念。多选题，总体上也还行，第11题就是经常能遇到的函数与导函数的对称关系，这里经常被搞错。 #教育创作激励计划# 填空第14题，看似为函数，但实际上是数列的求通项问题。大题现在几道都容易，但是都有卡bug的点，第15题第二问，阿波罗尼斯圆。第16题，简单的垂径定理而已。第17题，融合了立体的解代数问题，但是第二问的答案似乎不够严谨，应该需要讨论两种情况。第18题，第二问，最为困难的地方在于如果寻找到临界点！否则根本做不到完整的答案。第19题，集合➕数列推理。问题确实很困难，最为惊艳的地方是讨论分离子集数量的推理过程，居然得到了递推数列，这类得到排列方式确实有，但是不多见，也挺难想，突然想到了着色问题！

《圆梦未来：初中生数学圆难题攻略，家长必看！》亲爱的家长们，大家好，我是你们的老朋友——六维坐标系。今天，我将为各位揭晓一个让无数家长和孩子头疼的问题：如何攻克初中数学中的“圆”这一难关。【揭开神秘面纱】圆，这个看似简单却内涵丰富的几何图形，为何让众多孩子望而却步？其实，只要掌握正确的方法，就能轻松驾驭这个数学难题。【对症下药，药到病除】下面，我将根据人教版九年级上册第24章圆的课程内容，为家长们一一揭晓教育孩子的妙招： 1. 入门阶段：从圆的基本概念入手，让孩子逐步了解圆的性质和定理。例如，通过实例讲解圆的半径、直径、圆心角等基本概念，让孩子在直观感受中掌握知识点。 2. 实战演练：针对中考数学几何动点最值压轴题型，我们可以从隐形圆、辅助圆问题开始讲解。让孩子在解题过程中，学会运用圆的性质和定理，逐步攻克难题。 3. 拓展提高：进一步学习胡不归问题、费马点问题、阿波罗尼斯圆（阿氏圆）等高级题型。在这个过程中，家长可以鼓励孩子多动脑、多思考，培养他们的创新能力和逻辑思维。【感谢观看，为爱点赞】亲爱的家长们，感谢你们耐心观看。如果您觉得这篇文章对您有所帮助，请不要吝啬您的点赞和转发，让更多的家长和孩子受益！【一键三连，助力孩子圆梦】在此，我还要提醒各位家长，别忘了鼓励孩子一键三连（点赞、评论、转发），让他们的数学之旅更加精彩！【系统学习，成就未来】若想让孩子在数学圆的学习中更上一层楼，推荐使用《圆从入门到精通》视频课程。课程内容丰富，讲解生动，让孩子一听便知课程的好坏。【结尾】让我们一起为孩子的数学圆梦助力，让他们在未来的学习道路上勇往直前，创造辉煌！家长们，加油！视频课程就在下面，点击链接，查看详情，从入门到精通，家长都能够听懂学会，先看第一集课程简介，好不好用，试试便知，祝大家学习愉快！

线段比例最值题第五十二回，也是两定一动求比例最值问题，确定动点轨迹是解题关键，分享两种判断方法。法一通过两次四点共圆发现点N到定线段BH的夹角为90度，可确定N在以BH为直径的圆上。其间，需判断直线BN平分线段AM，并利用三角形的重心是中线的三等分点的性质以获得直径BH的长。在确定N的轨迹为圆后，利用圆的割线定理进行转换，将两动线段转换成一定一动线段，再求出动线段最值即可获得比例最值。法二通过发现点N到A及AB的中点之比为定值利用阿氏圆方法确定N的轨迹为圆。更巧妙的是，在判断N的轨迹过程中出现的辅助线已自然天成地构造完成了能用上托勒密不等式的凸四边形，因此可直接利用托勒密不等式解得答案。当然，过程中需预判出现最值的大致位置，适当调整点M的位置以保证该四边形为凸四边形。附上一道线段比例最值题，欲知解法如何，且听下回分解。注：本回的题目及“法二”均引用自@善数堂的2024-2-5的百度动态，在此表示感谢！ #教育创作激励计划# #轻知计划#

初中数学几何辅助线秘籍大揭秘！初中数学三大难题：几何动点最值、函数综合和辅助线，让孩子们谈“题”色变！这些题型多变，辅助线变换多端，到底有没有规矩可循呢？其实，初中平面几何除了证明外，最终都要解决两大基本问题：求角度或求线段长。以下是一些数学思想方法，帮助孩子们更好地掌握几何辅助线的奥秘： 𐟐Ž 将军饮马专题 𐟐œ 蚂蚁行程专题 𐟥’ 瓜豆原理专题 𐟓 中点四大模型专题 𐟔„ 一线三等角全等模型专题 𐟏 胡不归专题 𐟓 角平分线四大模型专题 𐟌 阿氏圆专题 𐟓ˆ 截长补短专题 𐟎字和飞镖模型专题 𐟔𔠦ž„造辅助圆专题 𐟧頨𔹩鬧‚𙤸“题 𐟔„ 对称性质专题 𐟓œ 折叠矩形专题 𐟌 托勒密定理专题 𐟔„ 旋转性质手拉手模型专题 𐟓 三垂直模型专题 𐟔„ 半角模型专题 𐟓œ 折叠所成特殊图形专题 𐟔„ 手连心模型与对补四边形专题通过这些专题的学习，孩子们可以更好地掌握几何辅助线的技巧，轻松应对各种难题。

𐟓š中考数学几何模型公式速记𐟓– 𐟔探索中考数学几何模型的奥秘，这里为你汇集了45至60的精华模型！ 𐟌Ÿ45～“A字模型”：掌握基础，轻松应对考试。 𐟒봶～“8字”模型：巧妙运用，解题更高效。 ✨47～“一线三等角”相似模型：角度关系，一网打尽。 𐟌 48～“射影定理”模型：投影之美，数学中的宝藏。 𐟐Ÿ49～“飞鱼”模型：形态独特，解题有奇效。 𐟤50～“手拉手”相似模型：相似问题，一拉即通。 𐟓51～“倍角”模型：角度加倍，思路更清晰。 𐟌𑵲～“等分面积”模型：面积分割，轻松搞定。 𐟏ƒ53～“胡不归”模型：不归之路，也有解法。 𐟔𔵴～“阿氏圆”模型：圆的问题，一圆解决。 𐟓55～“费马点”模型：点的选择，费马告诉你。 𐟔’56～“布洛卡点”模型：点的位置，布洛卡锁定。 𐟤–57～“主从联动”模型：主从关系，联动思维。 𐟑㵸～“脚拉脚”模型：脚与脚的互动，解题新视角。 𐟧˜59～“婆罗摩笈多”模型：古老传说，数学中的宝藏。 𐟌€60～阿基米德折线定理：折线之美，阿基米德发现。 𐟒ꩀŸ记这些模型，中考数学不再难！加油，学子们！𐟚€

线段比例最值题第五十六回，有难度，确定动点P的轨迹是解题关键，分享三种确定轨迹的方法以及确定轨迹后的三种求比例最值解法解本题首先要解决的是如何确定动点P的轨迹。法一、法二均用到了平面几何的一个知识点：任意一点到矩形的一对对角顶点的距离平方和等于这个点到另一对对角顶点的距离平方和‌。法一用上述知识点以及中线定理的证明方法——多次运用勾股定理结合条件中的线段长度关系得到动点P到定点E的距离为定值，说明点P在以E为圆心，该定值为半径的圆上。法二则直接利用该知识点及条件中的线段长度关系得到PA与PD的比例值为定值，而AD又是定线段，故可确定P的轨迹为阿氏圆。法三则通过建系利用条件中线段的长度关系得到动点P的函数表达式是圆的方程式，从而得到P所在圆的圆心位置及半径长度。在确定P的轨迹是圆后，本题就转化为圆上一动点到两定点距离之比的最值问题，此类题型可以用多种方法来解，本回分享三种不同解法（注：本系列动态的第十回讲解了一道比较经典的圆上动点到两定点距离之比最值题，分享了六种解法，感兴趣的学友可以仿照里面的其它解法来解本题）。法一用构造手拉手相似进行转换，并利用阿氏圆确定转换后的动点运动轨迹。法二通过子母型相似构造凸四边形利用托勒密不等式求线段比例最值。法三则通过求得过圆心E的割线CST的CS*CT=3，利用割线定理得到另一割线CQ*CP=CS*CT=3，而CB=3，故只需在BC上取CD=1，就可以得CQ*CP=CD*CB，从而组成一对共角型相似三角形实现两动线段PB/PC到DQ（动）/DC（定）的转换。因点D为定点，点Q是圆E上动点，故可以方便地求得DQ的最小值。附上一道线段比例最值题，条件给出了比较奇特的线段长度值，有一定难度，感兴趣的学友可以先做起来，欲知解法如何，且听下回分解。注：本回的题目及“法二”均引用自@善数堂的2024-2-12的百度动态，在此表示感谢！ #教育创作激励计划# #轻知计划#

中考前各分数段学生的学习策略 𐟓š 85分以下的学生：首先，要正视自己的薄弱环节，不要好高骛远。专注于基础题，如1-10、13-16、19-23、24（1）和25（1）。遇到错题时，要总结问题所在，回归课本，找出对应的定义、定理和公式，抄写并背诵。同时，要熟练掌握同一章节的例题。 𐟓ˆ 85-100分的学生：继续加强基础训练，通过刷题来提高速度和准确率。特别是11和12题，以及21、22和23题，可以适当增加难度，以适应近年来中考的变化。 𐟏† 100-107分的学生：基础题要少丢分，重点关注17题、24（2）和25（2）。掌握添加辅助线的方法和建系法，总结常考模型和常用方法。此外，还要提高做题速度，确保有充足的时间完成所有题目。 𐟌Ÿ 108分以上的学生：基础题要又对又快，这样才有时间去思考24（3）和25（3）。掌握更多的几何模型，如瓜豆、胡不归和阿氏圆等。除了刷基础题外，还要进行专题训练，针对对应模型进行练习。

线段比例最值题第五十一回，两定一动求比例最值，动点轨迹未知，解起来有难度，分享两种思路三种解法。一道所求比例关系中两线段三端点A、C、N，A、C固定，N为动点且运动轨迹未知，怎么解？可用两种思路来解。思路一：寻找并确定N的轨迹，如果轨迹为直线或是圆，转化成直线或圆上一动点到两定点距离之比的最值问题，那接下来就可以用较多的方法来解。法一根据N到两定点的夹角为90度，可判断N在以两定点为直径的圆上；法二利用N到两定点的距离之比为定值根据阿氏圆方法可确定N的轨迹为圆。在确定N轨迹为圆后，法一利用割线定理将两动线段转换成一定一动线段，并确定动线段的动点轨迹求得动线段最值；法二用托勒密不等式求比例最值。思路二：用动静互换方法。因是求线段比例最值，可以忽略正三角形ABC的具体边长，假定正三角形ADE是已知边长的固定三角形，那其高AN为知道长度的固定线段，角DME为定角对定边DE，可确定正三角形ABC的BC边的中点M的轨迹为圆，根据瓜豆原理可确定C的轨迹也是圆，从而求得NC的最大值即可得AN/NC的最小值。附上一道线段比例最值题，依然难度不小，欲知解法如何，且听下回分解。注：本回的题目及“法二”均引用自@善数堂的2024-2-2的百度动态，在此表示感谢！另外，原题中还有第二问，求带权重的线段差的最值，感兴趣的可以看“法二”中的3）。 #教育创作激励计划# #轻知计划#

线段比例最值题第三十五回，属于此类题型中难题，不易找到突破口，分享三种解法。根据题意，三角形PCD中，已知PC、PD的长，但它们的夹角可变，如固定其中一条线段如PC，那么点D的运动轨迹是圆，因此CD在动，以CD为其中一条边的正方形ABCD的A、B点也在动，根据瓜豆原理，A、B的运动轨迹也是圆，即A、B在两个不同的圆上移动，虽然P是固定的，但要将两动的PA、PB转换成一定一动，不太好想，做到这里，往往就被卡住了。所以解决本题，需换个思路，即进行“大规模”的动静互换。如假设正方形ABCD固定，那么根据题意，点P就是满足PC：PD=根号7：根号3的一动点，根据阿氏圆原理，P的运动轨迹就是圆。好！至此，本题就变成了“两定一动”且动点是圆的题型，可以用多种方法来解。法一、法二即是在“大规模”动静互换的基础上再采用转化法来解的。法一的转换方法最是巧妙，利用割线定理构建一组相似三角形，成功将比例关系中的两动线段转换成一定一动，而且动点运动轨迹是此前确定动点P轨迹时所作的圆O，可以方便地求出动线段最值从而求得最终的比例取值范围。法二利用构造一组手拉手相似得到另一组相似三角形，在将两动线段转换成一定一动的同时得到一组动点到一固定线段两端点距离之比为定值关系的两线段，从而用阿氏圆确定动点轨迹，得到取值范围。本题在前面一级动静互换的基础上，甚至还可以再用二级动静互换法来求解最终答案，只是感觉有点太绕了，就不在此演绎了。法三利用托勒密不等式解决。在法三的解题过程中并没有说进行动静互换，但为什么要这样做辅助线，其实还是用到了动静互换的想法。附上一道线段比例最值题，也有难度。欲知如何分解，且听下回来道。#2024开学季# #轻知计划#

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